现在考虑

极大值原理

考虑不等式方程

由 $u$ 在 $\overline{\mathrm{\Omega }}$ 上最大值在边界达到（非负最大值）
设 $x_0\in \partial \mathrm{\Omega }$ 是 $u$ 正的最大值点，则 ${\partial }_{n}u(x_0)⩾0$
于是 ${\partial }_{n}u(x_0)+\alpha (x_0)u(x_0)>0$，矛盾．
故 $u⩽0$ ．

最大模估计

如果 $u\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\mathrm{\Omega })$，是 $(2.42)$ 的解， $F=max|f|$，$G=max|g|$，则

证明

不妨设 $0\in \mathrm{\Omega }$，令 $w=u-z$，则

由

则

令 $z(x)={\displaystyle \frac{F}{2n}}(d^2-|x{|}^2)+{\displaystyle \frac{Fd}{n{\alpha }_0}}+{\displaystyle \frac{G}{{\alpha }_0}}$,
则 $-\mathrm{\Delta }z+c(x)z⩾F$, $x\in \mathrm{\Omega }$
${\partial }_{n}z+\alpha (x)z$
且

因此，$-\mathrm{\Delta }w+C(x)w⩽f-F⩽0$，${\partial }_{n}w+\alpha (x)w⩽g-G⩽0$
由极大值原理，$w$ 在 $x_0\in \partial \mathrm{\Omega }$ 达到非负最大值 $⟹{\partial }_{n}w(x_0)⩾0$
若 $w(x_0)>0$，由边界条件 ${\partial }_{n}w(x_0)=-\alpha (x)w(x_0)⩽-{\alpha }_{0}w(x_0)<0$，矛盾。

因此 $u(x_0)⩽0$ 即 $w(x)⩽0,\mathrm{\forall }x\in \overline{\mathrm{\Omega }}$，
故 $u(x)⩽z(x)⩽{\displaystyle \frac{F}{2n}}{d}^2+{\displaystyle \frac{Fd}{{\alpha }_{0}n}}+{\displaystyle \frac{G}{{\alpha }_0}}⩽C(F+G)$
类似可证 $-u⩽C(F+G)$
即证。

推论：解的唯一性

同一个方程的两个解的差满足方程

$max|u|⩽0$，得 $u=0$。